Berechnung des Thermodiffusionsstroms

Wir stellen uns vereinfacht vor, daß ein Elektron am Orte $\vec r$ zuletzt im Abstand der mittleren freien Weglänge $l$ von $\vec r$ gestreut wurde, wobei der Betrag seiner Geschwindigkeit den Mittelwert $\overline v(T)$ angenommen haben soll, welcher der dort herrschenden Temperatur $T$ entspricht. Das bedeutet: Ein Elektron am Ort $\vec r$ mit Flugrichtung $\hat v$ besitzt die Geschwindigkeit $\hat v \cdot \overline v (T (\vec r- l \cdot \hat v))$ (Abb. 9). Die mittlere Elektronengeschwindigkeit $\langle \vec v \rangle_{\vec r}$ am Ort $\vec r$ erhält man daraus durch Mittelung über die Flugrichtung $\hat v$ als

Abbildung 9: Zur Berechnung des Thermodiffusionsstroms.

$$\vec u (\vec r) \equiv \langle \vec v\rangle_{\vec r}$$ (19)

$$= \int \frac{d \Omega}{4 \pi} \hat v \cdot \overline v \left( T(\vec r - l \hat v)\right) \, .$$

Entwickelt man

$$T(\vec r - l \hat v) \approx T(\vec r) - l \hat v \cdot \vec\nabla T(\vec r)$$ (20)

und

$$\overline v \bigl( T(\vec r - l \hat v)\bigr) \approx v (T(\vec r)) - l \hat v \cdot \vec\nabla T(\vec r) \frac{d \overline v}{d T}\, ,$$ (21)

so erhält man

$$\vec u (\vec r) = - \frac{l}{3} \frac{\partial \overline v}{\partial T} \cdot \vec\nabla T (\vec r) \, .$$ (22)

Der unterschiedliche Betrag der Geschwindigkeit, entsprechend der unterschiedlichen kinetischen Energie, von aus verschiedenen Richtungen angeflogenen Elektronen ergibt also eine resultierende mittlere Strömungsgeschwindigkeit in der Richtung entgegengesetzt zum Temperaturgradienten. Dies ist das Phänomen der Thermodiffusion! Die entsprechende Stromdichte erhält man mit (22) als

$$\vec j (\vec r)\vert_{\rm {Thermodiff.}} = n \cdot \vec u (\vec r).$$ (23)

Dieses Ergebnis läßt sich mit Einführung eines Transportkoeffizienten $l_{12}$ ausdrücken als

$$\vec j (\vec r)\vert_{\rm {Thermodiff.}} = -l_{12} \vec \nabla T(\vec r)/T.$$ (24)

Für $l_{12}$ ergibt der Vergleich mit Gl. (22) und (23)

$$l_{12} = \frac{l}{3} n T \frac{d \overline v}{dT}\, .$$ (25)